1. 什么是Holt-Winters
在生活中，常常要根据过去一段时间的数据进行预测，确定业务未来的发展趋势，进而决策,配置相关的营销策略、制定业务目标，由此引申出了一个重要的用数据预测未来的方法——时间序列分析。时间序列预测算法的数据形式以[时间, 观测值]的形式表现。如下图
今天要说到Holt-Winters是利用三次指数平滑来做时间序列预测的方法。Holt-Winters是综合了1957年Holt和1960年Winters两个人的思路的一种方法。在介绍Holt-Winters之前，我们先来了解一下一次指数平滑和二次指数平滑。
一次指数平滑
当时间序列无明显的趋势变化,一次指数平滑表现较好。一次指数平滑的预测公式如下：
\[s_i = \alpha x_i + (1-\alpha )s_{i-1}\]其中 $0<\alpha<1$
$s_i$ 表示第$i$时刻的平滑估计，$s_i$可表示为当前实际值$x_i$和前一时刻的平滑估计值$s_{i-1}$加权求和，权重由$\alpha$决定。将上述公式展开如下：
形式和泰勒展开式相似。$\alpha \epsilon [0, 1]$, 越大表示近期的数据影响更大
二次指数平滑
一次指数平滑，没有考虑时间序列的趋势和季节性，二次指数平滑在一次指数平滑的基础上增加了趋势因素。预测公式如下：
\[s_i = \alpha x_i + (1- \alpha )(s_{i-1} + t_{i-1})\] \[t_i = \beta (s_i - s_{i-1}) + (1-\beta )t_{i-1}\]从公式可知，一个时间序列的时刻值分解为baseline部分和趋势部分，t表示趋势，可以表示为连续两个时刻的差值；可知，$t_i$也是一次的指数平滑。
Holt-Winters三次指数平滑
在二次指数平滑基础上，考虑季节性因素，就是三次指数平滑，也就是Holt-Winters。由此，一个时间序列的时刻值分解为baseline部分和趋势部分以及季节部分。由于季节性，存在周期，比如按周，按月等。pi季节性为当前季节性值和上一个周期季节性估计值的加权组合，周期在公式中以k来表示。如下：
\[s_i = \alpha (x_i - p_i) + (1-a)(s_{i-1} + t_{i-1})\] \[t_i = \beta(s_i - s_{i-1}) + (1-\beta)t_{i-1}\] \[p_i = \gamma(x_i - s_i) + (1-\gamma)p_{i-k}\]Holt-Winters 实现
从上面可以知道，要实现Holt-Winters，必须确定：
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1. 初始值：s0，t0和p0
2. 合适的参数：alpha，beta， gamma
3. 套入公式即可完成预测
三个重要参数：alpha，beta， gamma都属于[0, 1]之间，要么人为的搜索，要么通过数据来估计，通常采用L-BFGS优化算法来拟合数据。优化算法来自包scipy.optimize的fmin_l_bfgs_b。
下面通过statsmodels包提供的ExponentialSmoothing 来实现holt-winters方法
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from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing
class HoltWintersModel():
def __init__(self, data: TimeSeriesData, params: HoltWintersParams) -> None:
super().__init__(data, params)
if not isinstance(self.data.value, pd.Series):
msg = "Only support univariate time series, but get {type}.".format(
type=type(self.data.value)
)
logging.error(msg)
raise ValueError(msg)
def fit(self, **kwargs) -> None:
"""Fit the model with the specified input parameters
"""
logging.debug("Call fit() with parameters:{kwargs}".format(kwargs=kwargs))
holtwinters = HoltWinters(
self.data.value,
trend=self.params.trend,
damped=self.params.damped,
seasonal=self.params.seasonal,
seasonal_periods=self.params.seasonal_periods,
)
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `model`.
self.model = holtwinters.fit()
logging.info("Fitted HoltWinters.")
# pyre-fixme[14]: `predict` overrides method defined in `Model` inconsistently.
def predict(self, steps: int, include_history: bool = False, **kwargs) -> pd.DataFrame:
logging.debug(
"Call predict() with parameters. "
"steps:{steps}, kwargs:{kwargs}".format(steps=steps, kwargs=kwargs)
)
if "freq" not in kwargs:
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `freq`.
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `data`.
self.freq = pd.infer_freq(self.data.time)
else:
self.freq = kwargs["freq"]
last_date = self.data.time.max()
dates = pd.date_range(start=last_date, periods=steps + 1, freq=self.freq)
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `dates`.
self.dates = dates[dates != last_date] # Return correct number of periods
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `include_history`.
self.include_history = include_history
if "alpha" in kwargs:
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `alpha`.
self.alpha = kwargs["alpha"]
# build empirical CI
error_methods = kwargs.get("error_methods", ["mape"])
train_percentage = kwargs.get("train_percentage", 70)
test_percentage = kwargs.get("test_percentage", 10)
sliding_steps = kwargs.get("sliding_steps", len(self.data) // 5)
multi = kwargs.get("multi", True)
eci = EmpConfidenceInt(
error_methods=error_methods,
data=self.data,
params=self.params,
train_percentage=train_percentage,
test_percentage=test_percentage,
sliding_steps=sliding_steps,
model_class=HoltWintersModel,
confidence_level=1 - self.alpha,
multi=False,
)
logging.debug(
f"""Use EmpConfidenceInt for CI with parameters: error_methods = {error_methods}, train_percentage = {train_percentage},
test_percentage = {test_percentage}, sliding_steps = {sliding_steps}, confidence_level = {1-self.alpha}, multi={multi}."""
)
fcst = eci.get_eci(steps=steps)
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `y_fcst`.
self.y_fcst = fcst["fcst"]
else:
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `model`.
fcst = self.model.forecast(steps)
self.y_fcst = fcst
fcst = pd.DataFrame({"time": self.dates, "fcst": fcst})
logging.info("Generated forecast data from Holt-Winters model.")
logging.debug("Forecast data: {fcst}".format(fcst=fcst))
if include_history:
history_fcst = self.model.predict(start=0, end=len(self.data.time))
# pyre-fixme[16]: `HoltWintersModel` has no attribute `fcst_df`.
self.fcst_df = pd.concat(
[
pd.DataFrame(
{
"time": self.data.time,
"fcst": history_fcst,
}
),
fcst,
]
)
else:
self.fcst_df = fcst
logging.debug("Return forecast data: {fcst_df}".format(fcst_df=self.fcst_df))
return self.fcst_df
def plot(self):
"""Plot forecast results from the HoltWinters model
"""
logging.info("Generating chart for forecast result from arima model.")
m.Model.plot(self.data, self.fcst_df, include_history=self.include_history)
def __str__(self):
return "HoltWinters"
@staticmethod
def get_parameter_search_space() -> List[Dict[str, Any]]:
"""Get default HoltWinters parameter search space.
Args:
None
Returns:
A dictionary with the default HoltWinters parameter search space
"""
return get_default_holtwinters_parameter_search_space()
从上面实现可知，holt-winters通过预估alpha，beta和gamma来预测。算法的关键就是这三个参数和初始化值。三个参数可以通过优化算法来预估。
总结
本文介绍了时间序列预测算法Holt-Winters以及重要参数的选择的过程。总结如下：
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Holt-Winters是三次指数平滑，分别为baseline，趋势和季节性；
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alpha、beta和gamma分别为baseline，趋势和季节性的指数加权参数，一般通过优化算法L-BFGS估计
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初始化可通过平均值，也可通过时间序列分解得到
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周期m或者k的选择要根据实际数据来选择
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Holt-Winters针对波形比较稳定，没有突刺的情况下，效果会比较好
